INTRODUCCION:

Este blog tiene como objetivo principal explorar la intersección entre las ciencias farmacéuticas y químicas con las matemáticas, destacando el papel crucial de la integral definida en la comprensión y predicción de diversos fenómenos en estos campos científicos. Nuestra meta es mostrar cómo esta herramienta matemática, en apariencia abstracta, se convierte en la base fundamental para resolver problemas y realizar análisis en la química y farmacia u otros campos profesionales.

La integral definida, aunque invisible a simple vista, es el motor silencioso que impulsa muchos aspectos críticos de la química y la farmacia. Desde calcular la concentración de una sustancia en una solución hasta modelar la cinética de una reacción química, esta herramienta matemática ofrece un lenguaje común para describir y predecir fenómenos en estos campos científicos.

En la química, la integral definida se despliega en la determinación de áreas bajo curvas de espectros de absorción, la cuantificación de reactivos y productos en una reacción, y la predicción de la evolución temporal de sistemas dinámicos. En farmacia, esta herramienta matemática es esencial para evaluar la eficacia de formulaciones farmacéuticas, determinar la biodisponibilidad de fármacos y modelar la liberación controlada de principios activos.

FUNDAMENTOS TEORICOS

CONCEPTO:

La integral definida es un concepto fundamental en el cálculo que se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. En un intervalo dado [a, b], donde para cada punto x se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en el intervalo [a, b], la integral definida de la función entre los puntos a y b representa el área encerrada por la función, el eje horizontal (OX) y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota matemáticamente como:

∫[a, b] f(x) dx

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:

- Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

- Si la función f(x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

- Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

- En el caso de la integración a trozos, dados tres puntos tales que a < b < c, se cumple que para todo punto x del intervalo [a, b] al que se aplican dos funciones f(x) y g(x) tales que f(x) ≤ g(x), se verifica cierta relación.

RELACION CON EL CALCULO DEL AREA BAJO CURVA:

La integral definida es una herramienta matemática esencial que nos permite calcular el área bajo una curva en un intervalo específico. Cuando consideramos una función continua ( f(x) ) en un intervalo ( [a, b] ), la integral definida de ( f(x) ) en ese intervalo se denota como:

Esta expresión representa el área encerrada entre la función ( f(x) ) y el eje ( x ) en el intervalo . Básicamente, la integral definida divide el área bajo la curva en segmentos infinitesimales y los suma para obtener el área total.

APLICACIONES EN LA QUIMICA Y FARMACIA

QUIMICA

1.Cálculo de concentraciones: En química, la integral definida se utiliza para determinar la concentración de una sustancia en una solución. Por ejemplo, al medir la concentración de una solución de ácido en agua, se puede utilizar la integral definida para calcular la cantidad exacta de ácido presente en función de la cantidad de volumen de la solución.

2.Cálculo de reacciones químicas: Otra aplicación importante es en el cálculo de la velocidad de una reacción química. La integral definida se emplea para determinar la cantidad de sustancia que se ha consumido o producido en una reacción en función del tiempo. Esto es crucial para entender la cinética de una reacción y optimizar procesos industriales.

FARMACIA

1.Cálculo de la pureza de un fármaco: La integral definida se utiliza en farmacia para determinar la pureza de un fármaco mediante la cromatografía de alta resolución. Esta técnica separa los componentes de una muestra y la integral definida se emplea para calcular el área bajo el pico correspondiente a cada componente, lo que proporciona información sobre su pureza y concentración en el medicamento final.

2.Estudio de la liberación controlada de fármacos: En el desarrollo y control de calidad de medicamentos de liberación controlada, se utiliza la integral definida para analizar la cinética de liberación de los principios activos en el organismo. Al medir la cantidad de fármaco liberado en función del tiempo, se obtiene información valiosa para ajustar la formulación y garantizar que el medicamento tenga la efectividad deseada.

CONTADURIA PUBLICA 

1.Tasas marginales: La derivada y, en consecuencia, la integral definida, tienen aplicaciones en administración, economía y contaduría en la construcción de las tasas marginales. Es importante para este campo profesional debido a que con el análisis marginal permite calcular el punto de maximización de utilidades.

2.Oferta y demanda: Entre las funciones que se utilizan la integral definida en contaduría y economía para hacer modelos de situaciones de mercado se encuentra las funciones de oferta y demanda.

*Oferta: Por ejemplo, en una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puede decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad adecuada de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en un período específico.

* Demanda: En cuanto a la demanda, la empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandados por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo.

ENFOQUE GEOMETRICO

Enfoque geométrico:

Análisis del enfoque geométrico (con gráficos) de la integral definida y su importancia en la comprensión visual del cálculo del área bajo una curva.

La representación gráfica del resultado de una integral definida corresponde al área bajo la curva de la función, si ésta es continua en el intervalo de integración. Entonces, dada una función f(x) de una variable real x continua en un intervalo [a, b], la integral definida

Es el área de la región del plano XY limitada entre la gráfica de la función, el eje X, y las rectas x=a y x=b. Esta área se muestra en color verde en el siguiente recuadro.

Como puede observarse, el área limitada por la gráfica de la función tiene signo positivo cuando, en el intervalo de integración, f(x) toma valores positivos, y signo negativo cuando toma valores negativos. En este ejemplo, el valor del área es cero, porque la parte positiva y la parte negativa son iguales. Ahora bien, dependiendo del signo de la función en dicho intervalo, se tienen tres casos.

integración, f(x) toma valores positivos, y signo negativo cuando toma valores negativos. En este ejemplo, el valor del área es cero, porque la parte positiva y la parte negativa son iguales. Ahora bien, dependiendo del signo de la función en dicho intervalo, se tienen tres casos

Área bajo la curva:

El área bajo la curva representa la probabilidad de que el resultado del ensayo para un caso positivo elegido aleatoriamente supere el resultado para un caso negativo elegido aleatoriamente. La significación asintótica es menor que 0,05, lo que significa que usar el ensayo es mejor que adivinar.

EJEMPLOS DE APLICACION

 Ejemplos de aplicación 

1. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f(x) = 1000 + 5000x.

a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? 

b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?

Solución:

a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años se calcula:

b) Si se compró a $67500, el número de años que se requiere para pagarse por sí solo es:

2. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2 . Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. 

Solución: 

Como la cantidad de unidades es 20, su precio p=d (20)=50 - 0.06 (20)^2 = 26

La ganancia del consumidor será:

De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.

El área total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la recta p = p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida.

3.Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda: 

p1 (q) =1000 - 0,4 q2 . Función de oferta: p2 (q) =42q 

El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:

Solución:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir:

p1 (q) =p2 (q) 1000-0,4q2 =42q -0,4q2 _ 42q + 1000 = 0 

q1 =-125 ^q2 = 20 

Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 =840. 

El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q) y la recta p =840, entre 0 y 20, o sea:

El excedente de demanda asciende a soles/2133,33 

El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p =42q entre 0 y 20, o sea: 

El superávit de oferta alcanza $8400.